I. En el siguiente modelo, ¿qué fórmulas son verdaderas y cuáles falsas? [3 puntos]

U = {0, 1, 2}

I (a) = 0 I (b) = 1 I (P) = {0, 1} I (Q) = {2}

I (R) = {<0, 1>, <1, 0>} I (S) = {<2, 2>}

1. "x (x = a v x = b → Px)

2. Ø Qa

3. Pb & Pa

4. "xy (Px & Py & x ≠ y ↔ Rxy)

5. "x (ØPx → Sxx)

6. a = b

7. $x (Px & Sxx)

8. ØPb → "xy Rxy

9. Rab & Rba

10. $xy (Qx & Qy & x ≠ y)

II. Da una interpretación que muestre la independencia de 5 con respecto a 1, 2, 3 y 4. Otra que muestre la independencia de 3 con respecto a 1, 2, 4 y 5. [2 puntos]

1. $xyz (x ≠ y & y ≠ z & x ≠ z)

2. $xy (Px & Py & x ≠ y)

3. "x (Px → Rxx)

4. ØRaa

5. Pa

III. Da una interpretación que muestre la independencia de 2 con respecto a 1. [1’5 puntos]

1. "x $y Ryx

2. $y "x Ryx

IV. Estas tres fórmulas son todas independientes de las otras. Da tres interpretaciones que muestren la independencia de cada una respecto de las demás. [2 puntos]

1. "xyz (Rxy & Ryz → Rxz)

2. "xy (Rxy & Ryx → x = y)

3. "xy (Rxy v Ryx)

V. Estas cuatro fórmulas son independientes entre sí. Ofrece cuatro interpretaciones que muestren la independencia de cada una respecto de las demás. [3 puntos]

1. $y ("x (Sx & Gx ↔ x = y) & y = a)

2. "x (Sx & x ≠ a → Rax)

3. $x (Sx & Gx & Rbx)

4. "xy (Rxy → ØRyx)